PHP AJAX select option box dynamisk?

Hej Udviklere.

Jeg prøver at lave en dynamisk select box i PHP og Ajax, men af en eller anden grund, så får jeg ikke hentet værdierne i mine byer.

Først og fremmest har jeg Ajax-koden i min header:

<script type="text/javascript" src="http://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/1.7.1/jquery.min.js"></script>

<script type="text/javascript">
$(document).ready(function(){
    
    $(".country").change(function(){
        
        $id = $(this).val();
        
        $.ajax({
            type:"Post",
            url:"getid",
            data:"id="+$id,
            cache:"false",
            success:function(html){
                $("#city").html(html);
            }
            });
        });
    });    
</script>

Her efter har jeg selve siden, hvor jeg viser og henter landet til select boxen:

<select class="country">
    <option selected="selected">Vælg land</option>

 <?php

$database = new Database(DB_TYPE,DB_HOST,DB_NAME,DB_USER,DB_PASS); 


$sth = $database->prepare("SELECT * FROM lande_kategorier");
$sth->execute();
$result = $sth->fetchAll();

 foreach($result as $key => $rows){

 $id = $rows['kat_id'];
 $country = $rows['kat_name'];
 echo '<option value="'.$id.'">'.$country.'</option>';
 }
 ?>
    </select>
     </div>
<div class="outer_selector">
<div class="label">by</div>
<select id="city">
<option value="">vælg land først</option>
</select>

Til sidst har jeg filen, hvor jeg henter min min by:

<?php
	

	$id = $_POST['id'];

$database = new Database(DB_TYPE,DB_HOST,DB_NAME,DB_USER,DB_PASS); 

   $sth = $database->prepare("SELECT * FROM byer_under_kategorier WHERE under_kat_overkat_ref = :id");
   $sth->bindValue(':id', $id, PDO::PARAM_INT);
   $sth->execute();
   $result = $sth->fetchAll(PDO::FETCH_ASSOC);
  

foreach($result as $key => $rows){
    
    $cityid= $rows['under_kat_id'];
    $cityname = $rows['under_kat_name'];
    
    echo '<option id="'.$cityid.'">'.$cityname.'</option>';

    
}
?>

Er der nogen, der kan hjælpe?

Eller kan se, hvad fejlen er?